• Materi Tentang Turunan Fungsi
• Turunan Fungsi Trigonometri

Contoh soal dan pembahasan turunan untuk fungsi trigonometri. Contoh soal dan pembahasan tentang bangun datar segi empat berupa persegi dan persegipanjang. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar. Turunan fungsi trigonometri. D/dx ( sin x ). Turunan fungsi invers.

Asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya.

Materi Tentang Turunan Fungsi

Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang? Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya?

Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama untuk mencari differensial atau turunannya. Karena hal ini, orang berusaha mencari cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers. Hal ini akan memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers.

Di samping itu, selain mempermudah juga akan mempercepat dalam menentukan turunannya. Berangkat dari sini maka kami menyusun makalah ini untuk mengetahui bagaimana cara mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara yang lebih cepat dan efisien. 1 asimtot.wordpress.com 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan fungsi balikan? Bagaimana cara menentukan suatu fungsi balikan? Apakah setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan? Bagaiman cara mencari turunan fungsi balikan?

Mengapa jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan? 1.3 Tujuan 1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. Mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan. Mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak.

Mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan. Mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan. 1.4 Manfaat 1. Agar mahasiswa mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. Agar mahasiswa mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan.

Agar mahasiswa mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak. Agar mahasiswa mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan. Agar mahasiswa mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan. 2 asimtot.wordpress.com BAB II PEMBAHASAN 2.1 Fungsi Balikan Jika 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵, maka invers fungsi 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐴. A B B A Gambar 1. Sebuah fungsi 𝑓 dan inversnya 𝑓 −1. Jika sebuah input 𝑥 dimasukkan ke dalam fungsi 𝑓 menghasilkan sebuah output 𝑦, 𝑦 kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers 𝑓 −1 menghasilkan output 𝑥.

𝑓 adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan 𝑋, dan kodomainnya adalah himpunan 𝑌. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓 −1 dengan domain 𝑌 dan kodomain 𝑋, dengan aturan. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑦, maka 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥 Tidak semua fungsi mempunyai invers. Tetapi, fungsi yang tidak mempunyai invers itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai 𝑋-nya. Fungsi yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif, yaitu: Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

Sehingga sering dinyatakan sebagai 'sebuah fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers'. 3 asimtot.wordpress.com 2.2 Cara Menentukan Fungsi Balikan Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk 𝑓 −1 (𝑥) untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu 𝑓 −1 (𝑦), kemudian kita menukarkan 𝑥 dan 𝑦 dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 𝑓 −1 (𝑥) 1. Langkah 1: Selesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦. Langkah 2: Gunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 𝑦. Langkah 3: Gantilah 𝑦 dengan 𝑥.

Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan 𝑥 dan 𝑦. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan 𝑥 dan 𝑦 pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Jadi, grafik 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) adalah gambar cermin grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Contoh soal 1 Carilah invers dari 𝑦 = − 𝑥−3 4 asimtot.wordpress.com Jawab: Langkah 1: menyelesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.

1 𝑦 = − 𝑥−3 1 𝑥 − 3 = −𝑦 1 𝑥 = −𝑦 + 3 Langkah 2: menggunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 𝑦 1 𝑓 −1 𝑦 = − 𝑦 + 3 Langkah 3: mengganti 𝑦 dengan 𝑥. 1 𝑓 −1 𝑥 = − 𝑥 + 3 2.3 Keberadaan Fungsi Balikan Teorema Jika 𝑓 monoton murni pada daerah asalnya, maka 𝑓 memiliki balikan. Fungsi monoton Misalkan 𝑓(𝑥) terdefinisi pada suatu himpunan 𝑅. Untuk semua 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑅, fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan:  monoton naik, jika 𝑥1 𝑓(𝑥2 )  monoton tak naik, jika untuk 𝑥1 𝑓 𝑥2. Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik.

Untuk 𝑥1 0 untuk semua 𝑥 Jadi 𝑓 naik pada seluruh garis real. Sehingga 𝑓 memiliki balikan di sana. Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk 𝑓 −1 7 asimtot.wordpress.com 2.4 Turunan Fungsi Balikan Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers.

Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. Teorema Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼. Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) Untuk lebih mudah memahami teorema.

Perhatikan gambar disamping! Kita anggap, 𝑓 −1 𝑥 = 𝑔(𝑥). Garis singgung fungsi 𝑓 𝑥 di 𝑎 adalah turunan pertama 𝑓 𝑥 di 𝑎 yaitu 𝑓′(𝑎) Gambar 2. Turunan 𝑓 invers Garis singgung fungsi 𝑔(𝑥) di 𝑏 adalah turunan pertama 𝑔(𝑥) di 𝑏 yaitu 𝑔′ (𝑏) Menurut definisi invers.

Yaitu, jika 𝑓 𝑥 = 𝑦, maka 𝑓 −1 𝑦 = 𝑥. Dengan melakukan substitusi kita dapatkan 𝑓 −1 𝑓 𝑥 = 𝑥. 8 asimtot.wordpress.com Kita perhatikan untuk 𝑓 −1 𝑓 𝑥 =𝑥 Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 −1 𝑓 𝑥 𝑑 = 𝑑𝑥 𝑥 (𝑓 −1 )′ 𝑓 𝑥. (𝑓 ′ (𝑥)) = 1 (𝑓 −1 )′ 𝑓 𝑥 1 = 𝑓 ′ (𝑥) 1 Yang ekuivalen dengan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) Bukti resmi teorema Interval 𝑝, 𝑞 ⊆ 𝑅, dan 𝑓: 𝑝, 𝑞 → 𝑅, fungsi monoton murni dan kontinu pada 𝑝, 𝑞. 𝑟, 𝑠 = 𝑓(𝑝, 𝑞) dan 𝑔: 𝑟, 𝑠 → 𝑅 invers fungsi 𝑓 yang monoton murni dan kontinu.

Fungsi 𝑓 terdiferensial di titik 𝑎 ∈ 𝑝, 𝑞 dan 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0. Fungsi 𝑔 terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 lebih lanjut, 𝑔′ 𝑏 = 1 𝑓 ′ (𝑎) = 1 𝑓′ 𝑔 𝑏 Ambil sembarang 𝑦 ∈ 𝑟, 𝑠 dengan 𝑦 ≠ 𝑏, selanjutnya didefinisikan fungsi 𝐻 ∶ 𝑟, 𝑠 → 𝑅 dengan 𝐻 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑔 𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔 𝑏 Diketahui 𝑔 monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑟, 𝑠 dengan 𝑦 ≠ 𝑏, maka 𝑔(𝑦) ≠ 𝑔 𝑏. Dengan kata lain 𝐻 ∶ 𝑟, 𝑠 → 𝑅, well define. Demikian halnya jika 𝑦 = 𝑓(𝑔 𝑦 ) dan 𝑏 = 𝑓(𝑔 𝑏 ) maka berdasarkan definisi fungsi 𝐻 diperoleh 𝐻 𝑦 = 𝑦−𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) 9 asimtot.wordpress.com Mudah dipahami bahwa untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑟, 𝑠 dengan 𝑦 ≠ 𝑏, maka 𝐻(𝑦) ≠ 0. Selanjutnya dibuktikan bahwa lim 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎) 𝑦 →𝑏 Diberikan bilangan 𝜀 0 dan jika 𝑓 terdiferensial di 𝑎 = 𝑔(𝑏), maka terdapat bilangan 𝛿 0 sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 dengan sifat 0 0 terdapat bilangan 𝜂 0 sehingga untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑟, 𝑠 dengan 0 0. Jadi lim𝑦 →𝑏 𝐻 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎) Perhatikan bahwa karena 𝑦 ≠ 𝑏 maka 𝐻 𝑦 = 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) 𝑦−𝑏 = 𝑦 −𝑏 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) ≠ 0, sehingga diperoleh 1 𝐻(𝑦 ) Dapat disimpulkan, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑟, 𝑠 dengan 𝑦 ≠ 𝑏, berlaku 𝑔 𝑦 − 𝑔(𝑏) 1 1 1 = lim = = ′ 𝑦→𝑏 𝑦 →𝑏 𝐻(𝑦) 𝑦−𝑏 lim 𝐻(𝑦) 𝑓 (𝑎) 𝑔′ 𝑏 = lim 𝑦 →𝑏 10 asimtot.wordpress.com Terbukti 𝑔′ 𝑏 = 1 1 = 𝑓 ′ (𝑎) 𝑓′ 𝑔 𝑏 Ketika kita membuktikan seperti itu.

Mungkin kita akan kebingungan dengan langkah-langkah yang ada tersebut. Sehingga kelompok kami menyajikan bukti menurut kelompok kami sendiri. Yang mungkin akan lebih mudah kita pahami. Bukti mudahnya menurut kelompok kami Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼.

Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) Menurut definisi limit 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑓 ′ 𝑎 = lim Akan dibuktikan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) Dengan definisi limit, kita peroleh 𝑓 −1 Karena 𝑓 −1 𝑓 𝑥 ′ 𝑓 −1 𝑓 𝑥 − 𝑓 −1 𝑓 𝑎 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑓 𝑎 = lim = 𝑥 dan 𝑓 −1 𝑓 𝑎 =𝑎 Maka kita bisa menuliskan 𝑓 −1 ′ 𝑓 𝑎 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) = lim 11 asimtot.wordpress.com Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎, sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) ≠ 0.

Sehingga kita boleh melanjutkan proses. Maka kita bisa menuliskan 𝑓 −1 ′ 𝑓 𝑎 = 1 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) lim 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎 𝑓 −1 ′ 𝑓 𝑎 = 𝑓 −1 ′ 𝑓 𝑥 = 𝑓′ 1 𝑎 Dengan ini kita mendapatkan 1 𝑓′ 𝑥 Dimana 𝑓 𝑥 = 𝑦, diperoleh 𝑓 −1 ′ 𝑦 = 𝑓′ 1 𝑥 Terbukti. Contoh soal Carilah 𝑓 −1 ′ (2) jika diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 Jawab: Kita akan mencari nilai 𝑥 yang berpadanan dengan 𝑦 = 2 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝑦 = 𝑥+1 2 = 𝑥+1 4=𝑥+1 𝑥=3 Kemudian kita cari 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝑓′ 𝑥 = 2 𝑓′ 3 = 2 1 𝑥+1 1 3+1 1 𝑓′ 3 = 4 12 asimtot.wordpress.com Kita selesaikan dengan menggunakan teorema (𝑓 −1 )′ 2 = (𝑓 −1 )′ 2 = (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) 1 𝑓 ′ (3) 1 1 4 (𝑓 −1 )′ 2 = 4 Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita turunkan? 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝐷𝑓 = −1, ∞ 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 2 + 1 𝐷𝑓 = 0, ∞ 𝑅𝑓 = 0, ∞) 𝑅𝑓 = −1, ∞) 𝑓 −1 ′ 𝑥 = 2𝑥 (𝑓 −1 )′ 2 = 4 Hasilnya sama.

2.5 Mengapa 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0? Syarat 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 sangatlah penting. Apabila 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0 maka fungsi invers 𝑔 tidak terdiferensial di 𝑏 = 𝑓 𝑎. Artinya, jika 𝑔 terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎 dan jika 𝑓 invers fungsi 𝑔, maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi 𝑔 untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi 𝑓 terdiferensial di titik 𝑎 = 𝑔(𝑏) dan diperoleh 𝑔′ 𝑏 = 1 𝑓′ 𝑎 ↔ 1 = 𝑔′ 𝑏. 𝑓 ′ 𝑎 = 0 Terjadi kontradiksi, oleh karena itu 𝑔 tak terdiferensial di titik 𝑏 = 𝑓 𝑎. Lebih jelas terlihat jika kita masukkan 𝑓 ′ 𝑎 = 0 ke dalam 𝑔′ 𝑏 = 1 𝑓′ 𝑎 1 Diperoleh 𝑔′ 𝑏 = 0 13 asimtot.wordpress.com Contoh Diberikan fungsi bernilai real 𝑓 yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥3, Diperoleh 𝑓 −1 1 3 ∀𝑥 ∈ 𝑅 −2 2 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥, dan 𝑓 −1 ′ ′ 𝑥 =𝑔 𝑥 = 𝑥3 3 Ambil titik = 0, diperoleh 𝑏 = 𝑓(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′ (𝑎) = 0.

Dengan demikian 1 = 𝑔′ 𝑏. 𝑓 ′ 𝑎 = 0 1 Terjadi kontradiksi, sehinggga dapat disimpulkan bahwa 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 3, ∀𝑥 ∈ 𝑅 tidak terdiferensial di 0 14 asimtot.wordpress.com BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Suatu fungsi dapat diperbanyak. Salah satunya dengan cra membalikkannya (inversnya). Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu: 1.

Langkah 1: Selesaikan persamaaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦. Langkah 2: Gunakan 𝑓 −1 (𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam 𝑦. Langkah 3: Gantilah 𝑦 dengan 𝑥. Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak.

Turunan Fungsi Trigonometri

Dengan banyaknya fungsi-fungsi yang kita punya. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema. Dengan adanya teorema turunan fungsi balikan. Yaitu: Teorema Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼.

Jika 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓 −1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓 −1 )′ 𝑦 = 1 𝑓 ′ (𝑥) itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat. Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Tetapi kita juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi tersebut harus kontinu dan fungsi tersebut monoton murni.

3.2 Saran Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Karena disitu terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian. Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema.

Karena kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal dengan suatu teorema. Padahal soal itu tidak memenuhi syarat di teorema tersebut.

Materi matematika kelas XI SMA. Perhatikan contoh-contoh berikut: Soal Nomor 1 Turunkan fungsi berikut: y = 5 sin x y = 5 sin x y' = 5 cos x Soal Nomor 2 Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x Tentukan nilai dari f ' ( π/2).

Pembahasan Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini: f(x) = 3 cos x f '(x) = 3 (−sin x) f '(x) = −3 sin x Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x) f '( π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3 Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x Pembahasan y = −4 sin x y' = −4 cos x Soal Nomor 4 Diberikan y = −2 cos x.